Betrachtet man als Beispiel das zweimalige Ziehen aus einer “… if a Fraction expresses the Probability of an Event, and another Fraction the Probability of another Event, and those two Events are independent; the Probability that both those Events will Happen, will be the Product of those Fractions.” Die drei Ereignisse sind jedoch nicht (gemeinsam) unabhängig, da gilt Deshalb nennen wir A, B und C erst dann (von einander) unabhängig, wenn für jedes Paar und auch für alle drei die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts (der Schnittmenge) das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten ist. Der Anteil der Frauen ist ja in Bayern gleich groß wie in ganz Deutschland. Dann gilt: P(H) = 13/52 = 1/4 und P(B) = 4/52 = 1/13. A, B und C sind also nicht paarweise unabhängig. Einer der Zettel wird zufällig (je mit Wahrscheinlichkeit 1/4) gezogen. Also ist A = {KK,KM}, B = {KK,MK} en C = {KK,MM}. Denn wenn AWir hätten also die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis AB auch berechnen mit Anwendung der Definition von Laplace können. C ist das Ereignis einer Gesamtaugenzahl von 9, also C = {(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}. Die stochastische Unabhängigkeit ist eine rein abstrakte Eigenschaft von Wahrscheinlichkeitsmaßen und Ereignissen. Der Begriff "unabhängig" wird manchmal verwechselt mit dem Begriff "disjunkt". Aus einem Spiel von 52 Spielkarten ziehen wir beliebig eine Karte. Wir werfen zweimal hintereinander einen Würfel.

Disjunkte Ereignisse können nicht gleichzeitig eintreten, d.h. bei jedem Versuchsausgang tritt entweder A oder B (oder keines von beiden) ein. Disjunkte Ereignisse sind nach obigen Bemerkungen nur unabhängig, wenn eines der Ereignisse die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 hat. Weil HB das Ereignis ist dass wir den Herz-Bube ziehen, ist P(HB) = 1/52 = P(H)P(B). Diese Unterstellungen zusammen sind äquivalent mit der Unterstellung, der Wahrscheinlichkeitsraum sei symmetrisch. Es folgt dann: P(AB) = P(A)P(B) = 1/6×2/3 = 1/9. Der Ergebnisraum ist S = {KK,KZ,ZK,ZZ} und jedes dieser Ergebnisse hat die Wahrscheinlichkeit 1/4. Es sei A das Ereignis "das erste Mal war Kopf", B das Ereignis "das zweite Mal war Kopf" und C das Ereignis "beide Male dasselbe". So kann ein Würfel nicht gleichzeitg ein gerade Zahl (A) und eine der Zahlen 3, 5 ergeben (B) Wenn ich beliebig einen Deutschen herausgreife, wird es für die Wahrscheinlichkeit, dass es jemand aus Bayern ist, keinen Unterschied machen, ob ich weiß, dass ich eine Frau wählen werde. “Two Events are independent, when they have no connexion one with die könnten schon helfen.. wenn nicht kannst ja nochmal fragen gruss bil: 17.02.2006, 20:42: AD: Auf diesen Beitrag antworten » Wir werfen zweimal nacheinander eine faire Münze. Zwei Ereignisse sind also (stochastisch) unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, gleich dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Disjunkt im Ereignisraum bedeutet: inkompatibel als Ereignisse, m.a.W. Meistens lassen wir die Hinzufügung "von einander" weg, obwohl das streng genommen nicht richtig ist. Sie können es auch praktisch finden, dass seine Verwendung einfach ein wenig Zeit spart.

Wir betrachten dann folgende drei Ereignisse: Wichtig ist, dass stochastische Unabhängigkeit und Kausalität grundlegend verschiedene Konzepte sind. die Aussage "A und B sind beide geschehen" ist unmöglich = a priori falsch.

In das oben stehende Beispiel machten wir zwei Unterstellungen im Bezug auf unser Wahrscheinlichkeitsmodell, und zwar, dass der Würfel ehrlich ist, und dass Ereignisse, die nur auf dem zweiten Wurf bezogen sind, unabhängig sind von Ereignissen, die nur auf dem ersten Wurf bezogen sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein beliebiges der möglichen Ereignisse eintritt, beträgt eins.

würfel wird zweimal geworfen. Bemerkung 1 .
Zwei disjunkte Ereignisse A und B, also mit AB = ∅, können aber nur dann unabhängig sein, wenn eins der beiden Ereignisse die Wahrscheinlichkeit 0 hat. Der Durchschnitt ABC = {(3,6)}, also P(ABC) = 1/36 = 1/2×1/2×1/9 = P(A)P(B)P(C), aber P(AB) = 1/6 ≠ 1/2 × 1/2 = P(A)P(B) P(BC) = 1/36 ≠ 1/2 × 1/9 = P(B)P(C) en P(AC) = 1/36 ≠ 1/2 × 1/9 = P(A)P(C).

Der Begriff "unabhängig" wird manchmal verwechselt mit dem Begriff "disjunkt".


Es besteht per se Betrachtet man beispielsweise beim Werfen von zwei Würfeln die Ereignisse Ein Beispiel, bei dem sowohl stochastische als auch kausale Unabhängigkeit eintritt ist das Werfen zweier Würfel mit der Ereignissen Ein Fall, bei dem sowohl stochastische als auch kausale Abhängigkeit vorliegt, ist der zweimalige Münzwurf und die Ereignisse Bei methodisch korrektem Vorgehen kann man nicht einfach Unabhängigkeit vermuten, sondern man muss sie anhand obiger Formel überprüfen. Weil beide Beziehungen P(A|B) = P(A) und P(B|A) = P(B) auch äquivalent mit der symmetrische Beziehung P(AB) = P(A)P(B) sind, benutzen wir diese letztere als Definition. ereigniss A=1.wurf gerade ereigniss B=2.wurf ungerade beide ereignisse sind disjunkt und unabhängig. H ist das Ereignis, dass die gezogene Karte eine Herz-Karte ist und B heißt, die gezogene Karte ist ein Bube. Unterschied zwischen kausaler und stochastischer Unabhängigkeit. Es sei A das Ereignis, dass wir beim ersten Wurf 5 werfen, und B das Ereignis, dass wir beim zweiten Wurf 3 oder mehr werfen. the other, and that the happening of one neither forwards nor obstructs Wenn wir davon ausgehen, dass der Würfel fair ist, ist P(A) = 1/6 und P(B) = 2/3. Wenn unsere Würfe so eingerichtet sind, dass sie einander nicht beeinflussen, was normalerweise der Fall sein wird, werden A und B unabhängig sein. Im Beispiel könnten wir die Unabhängigkeit der zwei Ereignisse beweisen. Die Ereignisse A und B heißen (von einander) unabhängig wenn P(AB) = P(A)P(B). Wenn also A unabhängig ist von B, dann ist auch B unabhängig von A. Wir sagen deshalb, A und B seien (von einander) unabhängig.


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